A fração geratriz é um conceito poderoso que nos permite compreender e visualizar a estrutura subjacente de padrões complexos. Ela tem suas raízes na matemática e na física, mas suas aplicações vão muito além dessas áreas. Este numero fraccionário nos permite encontrar ordem em meio ao aparente caos, revelando padrões que se repetem infinitamente.

A fração geratriz é a razão entre dois números inteiros em que o resultado será uma dizima infinita periódica.

Período: é o numero que se repete ate ao infinito.

Ante período: é o numero que aparece na parte decimal antes do período.

Classificação das dizimas infinitas

As dizimas infinitas periódicas podem ser: Simples e compostas.

Dizimas periódicas simples: contem um numero na parte decimal que repete-se infinitamente.

Por exemplo:

Dizima periódica simples - fração geratriz

Dizimas periódica composta: contem dois ou mais algarismos diferentes na parte decimal.

Por exemplo:

Dizima periódica composta - fração geratriz

Métodos de resolução da fração geratriz

Determina-se a fração geratriz de um numero racional quando estamos diante da dizima periódica simples e dizima periódica composta. A seguir apresentamos alguns métodos que consistem na representação de uma dizima infinita numa fracção:

Dizima periódica simples

Igualar a dizima a uma variável (x), obtendo-se a primeira equação;
Multiplicar a primeira equação pelo múltiplo de 10. Se o período tiver um algarismo, multiplica-se por 10, se tiver 2 algarismos multiplica-se por 100, assim sucessivamente;
Subtrair as duas equações( segunda equação pela primeira equação);
Determinar o valor da variável (x).

Por exemplo: Determine a fração geratriz da dizima $fracção geratriz$ .

Resolução

Primeiramente, igualar a dizima por uma variável (x). Logo, temos:

Primeira equação: $fracção geratriz$ .

Posteriormente, multiplicar os dois membros da primeira equação por 10.

Segunda equação: .

Finalmente, subtrai-se a segunda equação pela primeira equação . Assim, temos:

Portanto, a fração geratriz da dizima $fracção geratriz$ é $fracção geratriz$ .

Leia: Conversão das dizimas finitas em fracções

Dizima periódica composta

Igualar a dizima a uma variável (x), obtendo a primeira equação;

Multiplicar a primeira equação pelo múltiplo de 10. Se o ante-período tiver um algarismo, multiplica-se por 10, se tiver dois algarismos multiplica-se por 100, assim sucessivamente,para encontrar a segunda equação;

Multiplicar a segunda equação pelo múltiplo de 10. Se o período tiver 1 algarismo, multiplica-se por 10, se tiver dois algarismos, multiplica-se por 100, assim sucessivamente, para encontrar a terceira equação;
Subtrair a terceira equação pela segunda equação);
Determinar o valor da variável (x).

Por exemplo: Determine a fração geratriz da seguinte dizima infinita periódica:.

Resolução

Igualando a dizima por x, temos: .

O ante – período contem 1 algarismo (4). Então, para obter a primeira equação, multiplica-se ambos membros da expressão () por 10. Assim temos:

O período contem 2 algarismos(72). Então, para obter a segunda equação, multiplica-se ambos membros da expressão () por 100. Assim, temos:

Finalmente subtraem a terceira equação pela segunda equação. Sendo assim, temos:

Portanto, a fração geratriz da dizima é .

Aplicações da fração geratriz em várias áreas

A fração geratriz tem aplicações em uma ampla gama de áreas, desde a matemática pura até a arte digital. Na matemática, a fracção geratriz é usada para estudar fractais, estruturas geométricas que exibem autos similaridade e recursividade. Esses fractais têm aplicações em várias áreas da ciência e da tecnologia, como modelagem de fenômenos naturais, compressão de dados e geração de paisagens virtuais. Na física, a fracção geratriz é usada para compreender sistemas complexos, como redes neurais e padrões de fluxo em fluidos. Além disso, a fração geratriz é amplamente utilizada em design gráfico, animação e arte digital, permitindo a criação de imagens e animações visualmente impressionantes.