Nos casos notáveis da multiplicação de binómios, multiplicam-se polinómios multiplicando cada termo do primeiro polinómio por todos os termos do segundo polinómio.
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Tipos de casos notáveis da multiplicação de binómios
Existem muitos casos da multiplicação de polinómios, dentre eles destacam-se os seguintes casos notáveis:
Quadrado de uma soma
Quadrado (2) de uma soma (+) é igual ao quadrado da primeira quantidade,mais o dobro do produto da primeira pela segunda, mais o quadrado da segunda. Sendo assim, temos:
(a+b)2=(a+b)(a+b) ou (a+b)2=a2+2ab+b2.
Por exemplo:
a) (x+1)2=
Primeiramente, devemos representar o binómio em forma de produto. Sendo assim, temos:
(x+1)2=(x+1)(x+1)
Posteriormente, devemos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição. Sendo assim,temos:
(x+1)(x+1)=x . x + x . 1 + 1 . x + 1 . 1 =
=x2+1x+1x+1=
=x2+2x+1
b) Factoriza o seguinte polinómio, utilizando os casos notáveis da multiplicação: x2+2x+1
Para factorizar x2+2x+1, não há nehum factor comum. Sendo assim, trata-se do quadrado de uma soma. Para factorizar o polinómio, basta decompor os extremos x2 e 1 em forma de produto. Sendo assim, temos:
- Multiplicando os termos que estão na diagonal, obtivemos: 1x e 1x. Somando os dois termos, obtivemos: 1x+1x=2x. Visto que, a soma dos dois termos corresponde ao segundo termo do polinómio (2x). Então, o polinómio será igual a soma dos termos das diagonais (x+1) e (x+1).
Portanto, x2+2x+1=(x+1)(x+1).
Quadrado de uma diferença
Quadrado (2) de uma diferença (-) é igual ao quadrado da primeira quantidade,menos o dobro do produto da primeira pela segunda, mais o quadrado da segunda. Sendo assim, temos:
(a-b)2=(a-b)(a-b) ou (a-b)2=a2-2ab+b2.
Por exemplo:
(x-1)2=
Primeiramente, devemos representar o binómio em forma de produto. Sendo assim, temos:
(x-1)2=(x-1)(x-1)
Posteriormente, devemos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição. Sendo assim,temos:
(x+1)(x+1)=x . x – x . 1 – 1 . x + 1 . 1 =
=x2-1x-1x+1=
=x2-2x+1.
Diferença de quadrados
A diferença (-) de quadrados é igual ao produto da soma das bases pela sua diferença, ou o produto da soma de duas quantidades pela sua diferença +e igual a diferença dos quadrados das duas quantidades. Sendo assim, temos:
(a-b)(a+b)=a2+ab-ab-b2
(a-b)(a+b)=a2-b2
Por exemplo:
a) Decompõe em factores o seguinte polinómio: x2-4
Neste caso, para decompor o binómio, basta decompor os extremos x2 e -4. Sendo assim, temos:
- Multiplicando os termos que estão na diagonal, obtivemos: 2x e -2x. Somando os dois termos, obtivemos: 2x-2x=0. Visto que, a soma dos dois termos corresponde a zero(0) que é o segundo termo nulo no polinómio. Então, o polinómio será igual a soma dos termos das diagonais (x+2) e (x-2).
Portanto, x2-4=(x+2)(x-2).
Cubo de uma soma
O cubo (3) de uma soma (+) é igual ao cubo da primeiro termo, mais o triplo do quadrado da primeira pela segunda, mais o triplo da primeira pelo quadrado da segunda, mais o cubo da segunda. Sendo assim, temos:
(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Por exemplo:
(x+2)3=
Aplicando a seguinte propriedade (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. Sendo (a=x ,b=2), temos:
=x3+3x2.2+3x.22+23=
=x3+6x2+12x+8.
Cubo de uma diferença
O cubo (3) de uma soma (+) é igual ao cubo da primeiro termo, menos o triplo do quadrado da primeira pela segunda, mais o triplo da primeira pelo quadrado da segunda, menos o cubo da segunda. Sendo assim, temos:
(a-b)(a-b)(a-b)=(a2-2ab+b2)(a-b)=a3-a2b-2a2b+2ab2+ab2+b3=a3-3a2b+3ab2-b3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
Por exemplo:
(x-2)3=
Aplicando a seguinte propriedade (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3. Sendo (a=x ,b=2), temos:
=x3-3x2.2+3x.22-23=
=x3-6x2+12x-8.
Exercícios sobre casos notáveis da multiplicação de binómios
- Decomponha num produto de factores os seguintes polinómios:
a) x2+6x+9
b) 2x2-16x+32
Resolução (a)
b) x2+6x+9
Sabendo que x2 e 9 são quadrados de x e 3, e que 6x é o dobro do produto de x por 3, temos:
x2+6x+9=(x+3)2
Resolução (b)
b) 2x2-16x+32
Sabendo que x2e 16 são quadrados de x e 4, e que 6x é o dobro do produto de 4 por x, temos:
2(x2-8x+16)=2(x-4)2
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