Conjuntos dos números racionais

Os Números Racionais surgiram na antiguidade, no intuito do homem repartir as suas porções de terras. Os primeiros povos a representarem as fracções foram os Egiptos quando se depararam com algumas inundações do rio Nilo e as áreas do terreno que eles cultivavam eram pagos proporcionalmente em função do espaço que eles efetuavam as suas plantações.

Nesta aula, poderás aprender:

Subconjunto dos números racionais
Antecessor e sucessor dos números racionais
Classe de equivalência
Relação ou comparação dos números racionais
Representação dos números racionais na reta numérica
Exercícios

O conjunto dos números racionais está envolvido na divisão de objetos ou coisas. A palavra racionais quer dizer: razão, divisão, ou seja, fracção.

Exemplo: A Maria, Dionísia, Antónia e a Denise compraram um mamão que querem dividir equitativamente entre elas.

Visto que estaremos diante de uma fruta e temos que dividir para as quatros meninas. Logo efetuamos a divisão .

Cada uma das amigas apenas pode receber uma parte fraccionária do mamão. Portanto, estas partes fraccionárias representam-se em forma de fracções.

Finalmente, podemos concluir que as três meninas comeram a mesma quantidade.

Estamos diante de uma fracção quando contem um par de números inteiros que são separados por intermédio do traço de fracção.

Os pares dos números inteiros da forma $fracoes$ , com chama-se números racionais (números faccionários).

Os números racionais fraccionários são representado por: Numerador e Denominador.

Numerador é o número que aparece por cima do traço de fracção ou simplistamente, indica o número de vezes que essa parte se tomam (no exemplo acima é o mamão);
Denominador é o número que aparece por baixo do traço de fracção ou simplesmente, indica a quantidade de partes iguais em que se divide a unidade (no exemplo acima é o número de meninas).

O Conjunto dos Números Racionais representa-se pela letra Q. Neste caso teremos: Q={a/b, a e b pertencem Z⁺, com b diferente de 0}, dentro deste conjunto numérico, podemos encontrar vários subconjuntos.

Subconjuntos dos números racionais

Conjunto dos Números Racionais Positivos:Q⁺={a/b, a e b pertencem Z⁺, com b diferente de 0}. Neste conjunto, fazem parte todos os números racionais, exceto zero ;

Conjunto dos Números Racionais não Negativos:Q₀⁺={a/b, a e b pertencem Z⁺₀, com b diferente de 0}. Neste conjunto, fazem parte todos os números racionais positivos incluindo zero;

Conjunto dos Números Racionais Negativos:Q^–={a/b, a e b pertencem Z^–, com b diferente de 0}. Neste conjunto, fazem parte todos os números racionais negativos, exceto zero ;

Conjunto dos Números Racionais não Positivos:Q^–₀={a/b, a e b pertencem Z⁺₀, com b diferente de 0}. Neste conjunto, fazem parte todos os números racionais negativos, incluindo zero.

Exemplos de números racionais:

Dentro deste conjunto, podemos encontrar vários subconjuntos, tal como: Conjunto dos números naturais e conjunto dos números inteiros. Sendo assim, podemos dizer que: .

Antecessor e sucessor dos números racionais

Quanto ao Conjunto dos Números Racionais, estes números não têm antecessor nem sucessor. Pois, não se sabe o número que vem antes ou depois do outro. Deste modo o conjunto dos números racionais não se representa como o conjunto dos números inteiros.

Classe de equivalência

Acompanhe o seguinte exemplo: Dois irmãos João e o Wilson, Realizaram uma festa em Luanda no Hotel Epic sana, comeram 1/2 e 3/6 , Respectivamente, de um bolo no dia do aniversário do seu irmão mais novo Henriques. Qual dos irmãos comeu maior quantidade de bolo?

Resolução

Primeiramente, vamos repartir o bolo em duas partes iguais, representando a fracção e depois considerar uma parte.

Posteriormente, vamos dividir o bolo em 6 partes iguais e considerar 3 para representar a fracção .

Finalmente, analisando as duas figuras, podemos concluir que os dois irmãos comeram a mesma quantidade de bolo. Portanto , são fracções equivalentes, pois representam a mesma porção.

Classe de equivalência (CE) é o conjunto de números fraccionários que representam o mesmo número.

Para encontrar a classe de equivalência de cada fracção, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número.

Exemplo: Dada a fração , determine a classe de equivalência:

Para determinar as frações equivalentes, devemos multiplicar o numerador e o denominador com os seguintes números: (2,3,4,…).

Primeiramente, multiplica-se o numerador (1) por 2. Logo obtemos: 1×2=2;
Posteriormente, multiplica-se o denominador (4) por 2. Obtemos: 4×2=8.

Exemplo:

Para determinar as frações equivalentes, devemos multiplicar o numerador e o denominador com os seguintes números: (2,3,4,…).

Inicialmente, multiplica-se o numerador (2) por 2. Logo obtemos: 2×2=4;
Posteriormente, multiplica-se o denominador (3) por 2. Obtemos: 3×2=6.

Relação ou comparação de números racionais

Tal como os números inteiros, para comparar os números racionais, basta utilizar os seguintes símbolos:

( <, > , = ).

Comparação de número racionais em forma de fracção :

Comparação dos números racionais com o mesmo denominador: Quando os denominadores forem iguais, a maior fracção será que tiver o maior numerador. Neste caso, compara-se apenas os numeradores.

Exemplo: Comparar as frações .

Para verificar a maior fracção temos de comparar apenas os numeradores. Deste modo, temos: 4<8.

Logo, .

Comparação de números racionais com denominadores diferentes: Quando os denominadores forem diferentes, determina-se os denominadores comuns. Posteriormente, analisa-se a fracção que tiver o maior numerador.

Exemplo: Compara as seguintes frações .

Primeiramente determinamos os mesmos denominadores. Para isso, multiplica-se a fracçãopor 2. Assim, temos: .

Posteriormente, comparamos os numeradores 10 < 11.

Portanto,.
Observação: Na comparação de números racionais que são representados por fracções com denominador 1 comportam-se tal como os números naturais que lhe são atribuídos.

Comparação de números racionais na forma decimal

Para comparar dois ou mais números racionais na forma decimal: primeiramente deve-se verificar a parte inteira(, posteriormente verifica-se a parte decimal.

Exemplo: compara os números racionais decimais:

a). 0,25 e 2,45

Resolução

No primeiro número decimal, na parte inteira temos o algarismo (0) , no segundo temos o algarismo (2) na parte inteira. Posteriormente, compara-se os dois algarismos. Sendo assim, temos: 0<2.
Portanto: 0,25<2,45

b). 3, 40 e 3, 5

As partes inteiras dos dois números decimais são idênticas. Neste caso vamos comparar as partes decimais.
No primeiro número decimal, temos o algarismo (40) na parte decimal, no segundo número decimal temos o algarismo (5). Logo, 40 <5, porque o algarismo zero (0) da parte decimal quando aparece na ultima posição não tem valor. Neste caso, podemos dizer que: 3,40=3,4.
Portanto: 3,40<3,5.

Representação dos números racionais na recta numérica

No eixo em que representamos os elementos do conjunto dos números inteiros, podemos representar outros números. Para representar um número fraccionário, divide-se a fracção e procura-se enquadrar o respectivo número na recta.

Exemplo: Representa os números racionais na recta:.

Primeiramente, divide-se os números fraccionários. Neste caso temos: .

Este número,fica entre os algarismos -4 e – 3.

Visto que os números decimais +0,5 e +0,75 têm a mesma parte inteira (0), compara-se a parte decimal (5 <75). Neste caso temos: +0,5<+0,75. Os dois números ficam entre 0 e 1.

Finalmente, temos o número +2,5 que fica entre os números 2 e 3.

Representando os números decimais na recta, temos:

Domínio do conjunto dos números racionais

Neste domínio, fazem parte (4) operações essenciais da matemática: Adição, subtracção, multiplicação e divisão.

Quanto aos domínios da Adição , Subtracção, Multiplicação e Divisão de números racionais , apenas efectua-se os cálculos sem nenhuma restrição.

Exercícios resolvidos

Observe os números no quadro:

-7

-6

-4

a). Quais são os números racionais não negativos?

b). Quais são os números racionais?

c). Quais são os números racionais não positivos?

Resolução

a). Os números racionais não negativos são: (1,3,8,19/4)

b). Os números racionais são: (-7, -6, -4,0,1,3,8,19/4)

c). Os números racionais não positivos são: (-7, -6, -4)

4. Compara as seguintes frações:

Resolução

Visto que as duas frações têm o mesmo denominador. Para comparar as duas frações basta comparar os numeradores. Neste caso, teremos: 2<4. Logo o algarismo 4 é maior.

Portanto, .

b).

Se analisarmos bem, podemos notar que as frações têm os mesmos denominadores. Neste caso vamos apenas comparar os numeradores. Logo podemos verificar que 1<3<4<8.

Portanto, .

c).

Para efetuarmos a comparação, temos que determinar o mínimo múltiplo comum das frações que será (10). Neste caso, temos de multiplicar a primeira fração por 2. Assim, temos: .