Bem vindo aos números reais, termine a leitura deste artigo e terás tudo que precisas saber sobre o conjunto dos números reais. O conceito de número é um das mais fundamentais da matemática, os números reais são uma extensão dos números inteiros e racionais. Eles incluem todos os números racionais e irracionais.
Neste artigo terás o domínio dos seguintes tópicos:
- Diferentes tipos de números reais
- Propriedades do conjunto dos números reais
- Números reais e sua representação em uma recta numérica
- Relação ou comparação dos números reais
Diferentes tipos de números reais
Já nos referimos no paragrafo introdutório que os números reais são uma extensão de números inteiros e racionais, o que significa que dentro dos números reais encontramos infinitos subconjuntos de números. O conjunto dos números reais é representado pelo simbolo
Dos vários subconjuntos, apresentamos os seguintes:
Números naturais: Os números naturais servem para contar objectos no dia a dia.
Números inteiros: Os números inteiros são aqueles que não possuem parte decimal. Eles incluem números positivos, negativos e o zero.
Números racionais: Os números racionais são aqueles que podem ser expressos como uma fração ou números decimais finitos ou infinitos periódicos.
Números irracionais: Os números irracionais são aqueles que não podem ser expressos como uma fração simples e têm uma representação decimal infinita não periódica.
Por exemplo:
Propriedades do Conjunto dos números reais
Os números reais possuem varias propriedades das quais destacamos as seguintes:
- Comutativa: Esta propriedade só se aplica na adição e multiplicação de números reais, onde a ordem das parcelas na adição ou dos produtos na multiplicação não afeta o resultado. Por exemplo:
- Associativa: Esta propriedade só se aplicada na adição e multiplicação dos números reais, onde a maneira como se reagrupa as parcelas na adição ou dos produtos na multiplicação não afeta o resultado. Por exemplo:
- Distributiva: Esta propriedade se aplica no produto de dois factores reais, caso um ou os dois factores seja uma adição ou subtração de dois ou mais elementos, onde a multiplicação distribui-se sobre a adição ou subtração de números reais. Exemplo: 5×(π+2)=5×π + 5×2 ou 5×(π-2)=5×π – 5×2
- Elemento neutro: Se adicionarmos o número 0 (zero) a qualquer número real, teremos como resultado o próprio número real, desta feita dizemos que o 0 (zero) é o elemento neutra da adição de números reais. Exemplo:
Se Multiplicarmos o número um (1) por qualquer número real, teremos como resultado o próprio número real, desta feita o número 1 (um) é o elemento neutro da multiplicação de números reais.
Exemplo: 5,7×1=5,7
- Elemento absorvente: Se multiplicarmos qualquer número real por número 0 (zero), teremos como resultado o próprio zero, desta feita o número zero é o elemento absorvente da multiplicação de números reais. Exemplo: 0×(-√2)=0
Números reais e sua representação em uma recta numérica
Números reais são formados pela união dos números racionais e números irracionais, os números racionais não preenchem todos os pontos de uma recta numérica, com a inclusão dos números irracionais a recta numérica fica totalmente preenchida. Isto significa que todo número real pode ser representada na recta numérica.
É bem verdade que tu já sabes representar um número racional na recta numérica, em caso de eu estar enganado clique no link acima que diz, saiba tudo sobre números racionais. Entretanto falaremos apenas em como representar um número irracional na recta numérica. Desta feita, acompanha as técnicas para representarmos √3 numa recta numérica. Para representar um número irracional na recta numérica obedecemos dois critérios: Representação por aproximação e Representação geométrica.
Na representação por aproximação seguimos os seguintes passos:
1- Encontrar um número que multiplicado por si mesmo de como resultado 3 ou próximo de 3 (não ultrapassa 3).
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
No entanto percebemos que o número que procuramos esta entre o número 1 e 2.
2- Encontrar um número decimal entre 1 e 2 que multiplicado por si mesmo de como resultado 3 ou próximo de 3 (não ultrapassa 3).
1,4 x 1,4 = 1,96
1,5 x 1,5 = 2,25
1,6 x 1,6 = 2,56
1,7 x 1,7 = 2,89
1,8 x 1,8 = 3,25
Certamente podemos concluir que o número procurado se encontra entre 1,7 e 1,8.
3- Desenhar uma recta numérica e localizar o número √3
Relação ou comparação dos números reais
Os números reais podem ser comparados um ao outro, em função da sua posição na recta numérica. Dois números reais serão iguais se eles ocupam a mesma posição na recta, um número real a será menor em relação ao número real b, se a posição a na recta esteja a esquerda de b, um número real a será maior em relação ao número real b se a posição a na recta esteja a direita de b.
Por exemplo.
√2 < √7
-1,75 < 1,333
π > 0,25
Exercícios
1- Classifica em racional e irracional os seguintes números:
a) √8
b) 1,414213…
c) 1/2
d) 0,333…
2- Compara os seguintes números reais.
a) √3 e 2
b) 2/3 e 7/6
c) π e √10
3- Representa na recta numérica os seguintes números: 1/5; √6; π; 4,363636…
Possíveis respostas
1- a) Irracional b) Irracional c) Racional d) Racional
2- a) √3 < 2 b) 2/3 <7/6 c) π < √10
3-