A integral por substituição, também conhecida como “método da substituição”, é uma técnica utilizada para simplificar a integração de uma função complicada. A ideia por trás desse método é substituir uma parte da função por uma variável diferente, de modo que a nova integral resultante seja mais fácil de resolver.
A fórmula geral da integral por substituição é dada por:
∫f(x) d x =∫f[g(u)] . g(u)’ d u
Onde:
- f(x) é a função que será substituída;
- u é a variável de substituição, geralmente escolhida de forma a simplificar a integral;
- u’ é a derivada da variável de substituição em relação a x.
Método para resolver a integral por substituição
Para resolver uma integração por substituição, siga as seguintes etapas:
- Escolha a parte da função que será substituída por u.
- Derive u em relação a x para encontrar u’.
- Substitua a função por u e sua derivada (f(u) e u’) na integral.
- Faça a integral em relação a u, e depois substitua u de volta por sua expressão original.
É importante ressaltar que é necessário ajustar os limites de integração, caso a integral seja definida em um intervalo. Além disso, também é crucial escolher uma boa variável de substituição para simplificar a integração, evitando a escolha de variáveis complicadas que dificultem o cálculo.
Esse método é muito útil para simplificar integrais mais complexas e possibilita a resolução de problemas que seriam difíceis de resolver diretamente.
Por exemplo: Se estivermos integrando a função f(x) = x . cos(x), podemos escolher u = x e d u = d x. Então reescrevemos a expressão em termos de “u” como u . cos(u) e integramos a função em termos de “u”. Depois substituímos de volta a expressão original de “u” em nossa resposta final.
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Exercícios sobre integral por substituição
1-Determine as primitivas das derivadas seguintes:
Resolução
Temos: u(x)= x3-2 ; d u/d x=3x2 ; d u=3x2dx , fazendo as respectivas substituições, temos:
Integrando a função em u, temos:
Sabendo que u(x)= x3-2 , temos:
Portanto:
2- Determine a primitiva da derivada seguinte:
∫2sen2x d x
Resolução
u(x)= 2x ; d u / d x=2, temos: d u = 2dx
∫2 sen2x d x =∫ sen2x . 2dx= ∫ senu d u =
Integrando a função em u, temos:
=-cos u +c=
Sabendo que u= 2x , temos:
=-cos 2x+c
Portanto: ∫2sen2x d x =-cos 2x+c
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