Duas grandezas (x e y) são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, na mesma proporção. Isto é X x Y=K. Sendo k é a constante de proporcionalidade inversa.
Neta aula, poderás aprender sobre:
- Constante de proporcionalidade inversa
- Expressão algébrica ou analítica de proporcionalidade inversa
- Função de proporcionalidade inversa
- Representação gráfica da função de proporcionalidade
- Como resolver problemas de proporcionalidade inversa
- Aplicações práticas de proporcionalidade inversa
Por exemplo:
A velocidade média de um automóvel e o tempo necessário para percorrer 300 km.
Variação dos valores de y(v) e x(t)
Acima de tudo, podemos verificar que o aumento proporcional da velocidade (y), implica uma diminuição proporcional do tempo (x).
Constante de proporcionalidade inversa
Em primeiro lugar, para determinar a constante de proporcionalidade, basta utilizar a seguinte expressão:
Observação: Se multiplicarmos os valores da velocidade com os valores do tempo, teremos a mesma solução. Portanto, 300 é a constante de proporcionalidade.
Expressão algébrica ou analítica de proporcionalidade inversa
Para representar em expressão algébrica, basta substituir o valor da constante de proporcionalidade, na expressão X x Y = K. Em seguida, isolamos a variável y. Então temos:
Função de proporcionalidade inversa
Uma função de proporcionalidade inversa é uma expressão analítica ou algébrica do tipo: Y=k/x. Sendo k constante (k e x diferente de zero (0)).
- x é a variável independente;
- y é a variável dependente.
Representação gráfica da função de proporcionalidade inversa
Uma maneira visual de representar a proporcionalidade inversa é através de um gráfico. Quando duas variáveis estão inversamente relacionadas, o gráfico resultante será uma curva chamada hipérbole.
A hipérbole é uma curva suave que mostra a relação inversa entre as variáveis. À medida que uma variável aumenta, a outra diminui na mesma proporção, criando uma curva que se aproxima assintoticamente dos eixos.
Por exemplo: Representa graficamente a função:
Primeiramente, devemos encontrar os pontos da função, construindo uma tabela:
Em seguida, traçamos o plano cartesiano e representamos os valores de x e y, depois representamos o gráfico da função, passando na intersecção dos pontos correspondentes:
Como resolver problemas de proporcionalidade inversa
Resolver problemas envolvendo proporcionalidade inversa pode parecer desafiador, mas existem algumas estratégias que podem facilitar esse processo.
1. Identifique as variáveis inversamente proporcionais: Determine quais são as duas variáveis que estão inversamente relacionadas no problema.
2. Encontre a constante de proporcionalidade: Utilize as informações fornecidas no problema para encontrar a constante de proporcionalidade (k).
3. Escreva a equação inversa: Utilize a fórmula X x Y = K , para escrever a equação inversa que relaciona as duas variáveis.
4. Resolva a equação inversa: Use a equação inversa para calcular os valores das variáveis desconhecidas.
5. Verifique os resultados: Certifique-se de que os resultados obtidos fazem sentido dentro do contexto do problema.
Com essas etapas, você estará preparado para resolver problemas de proporcionalidade inversa de forma eficaz.
Aplicações práticas da proporcionalidade inversa
A proporcionalidade inversa está presente em várias aplicações práticas do nosso dia a dia. Aqui estão algumas áreas onde esse conceito é utilizado:
1. Engenharia: A proporcionalidade inversa é aplicada em diversos ramos da engenharia, como na hidráulica, onde a vazão de um líquido através de um tubo é inversamente proporcional à sua viscosidade.
2. Medicina: Em medicina, a relação entre a concentração de um medicamento e sua eficácia é geralmente inversamente proporcional. Quanto maior a concentração do medicamento, menor será a dose necessária para obter o efeito desejado.
3. Finanças pessoais: A proporcionalidade inversa é útil em finanças pessoais para entender como o aumento de uma despesa pode afetar a poupança. Por exemplo, se você aumentar sua despesa mensal, sua taxa de poupança diminuirá.
Essas são apenas algumas das muitas aplicações práticas da proporcionalidade inversa. Compreender esse conceito pode ajudá-lo a tomar decisões mais informadas em várias áreas da vida.
Exercícios resolvidos
- Um estudante fez uma tabela onde registou a prestação mensal a pagar com os seus colegas, pelo aluguer de uma casa cuja renda é de 6000,00kz.
a). Verifique se as grandezas em estudos são inversamente proporcionais.
b). Escrever a expressão analítica que relaciona x e y.
c). Qual é a constante de proporcionalidade e o seu significado?
d). Foram cinco (5) os estudantes que acabaram por partilhar a casa. Qual é a prestação mensal de cada um?
Resolução
a). Para verificar se as duas grandezas são inversamente proporcionais, basta multiplicar os valores de x e y. Neste caso temos:
Logo, as duas grandezas são inversamente proporcionais porque a constante de proporcionalidade equivale a 6000 para todos os produtos.
b). Em primeiro lugar, para escrever a expressão analítica que relaciona x e y, basta substituir o valor da constante de proporcionalidade (k=6000), na expressão X x Y = K e isolar a variável dependente (y):
c). A constante de proporcionalidade é 6000. Que significa, custo do aluguer da casa.
d). Quando forem 5 estudantes (x=5) a partilhar a casa, teremos:
Portanto, dos 5 estudantes que partilharam a casa, cada um terá de pagar 1200,00kz.
2. Sabendo que x e y são inversamente proporcionais:
a). Indicar a constante de proporcionalidade;
b). Copiar e completar a tabela;
c). Represente graficamente.
Resolução
a). As duas grandezas são inversamente proporcionais. Neste caso, vamos verificar na tabela onde aparece os valores de x e y:
Em seguida vamos multiplicar os os dois valores para encontrar a constante de proporcionalidade:
A constante de proporcionalidade é 192.
b).
Assim como determinamos acima, para preencher o valor em falta (y), temos de substituir o valor de x e da constante (k), na expressão:
X x Y=K, depois isolamos a variável y. Assim temos:
Quando x=3, y=64.
Posteriormente, para preencher o valor de (x), temos de substituir o valor de y e da constante (k), na expressão: X x Y=K, depois isolamos a variável x. Logo depois, temos:
Portanto, quando y=12, x=16.
Igualmente a tabela anterior, para preencher o valor em falta (y), temos de substituir o valor de x e da constante (k), na expressão: X x Y=K, assim temos:
Portanto, quando x=6, y=32.
Da mesma forma, para preencher o valor de (x), temos de substituir o valor de y=0,6 e da constante k=192, na expressão:
X x Y=K, depois isolamos a variável x:
Quando y=0,6, x=320.
Portanto, teremos:
3. Um operário leva 4 horas a realizar uma tarefa. Se a tarefa for executada por mais de um operário, naturalmente levara menos tempo a ser concluída.
O gráfico relaciona o número de operários x, com o número de horas t, que levam a concluir a tarefa:
a). Construa uma tabela correspondente aos pontos assinalados no gráfico.
b). Justifique se as duas grandezas são inversamente proporcionais.
c). Escreva a expressão analítica de t em função de x.
Resolução
a). Primeiramente, para construir a tabela, temos de analisar os pontos correspondentes no gráfico:
quando x=1, y=4; x=2, y=2; x=4, y=1, fazendo a tabela teremos:
b). Em primeiro lugar, vamos verificar se são inversamente proporcionais, vamos multiplicar os pares ordenados ou valores correspondentes (1;4), (2;2) e (4;1):
Portanto, as duas grandezas são inversamente proporcionais. Então, a constante de proporcionalidade é 4.
c). A expressão analítica que relaciona as duas grandezas é:
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