Polinómios é a soma algébrica de monómios não semelhantes, ou seja, polinómio de grau n na variavel x é toda expressão do tipo:
a0xn+a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+…+an-1x+an(com n€N0e a0,a1,a3,…an-1,an€R e a0 diferente de 0).
Nesta aula, poderás aprender sobre:
- Classificação dos polinómio;
- Grau de um polinómio:
- Polinómio Ordenado;
- Operações com polinómio;
- Valor numérico de um polinómio;
- Exercícios
Onde:
- a0xn,a1xn-1,a2xn-2,a3xn-3,…,an-1x,an: chamam-se monómios (termos) do polinómio ;
- a0,a1,a3,…an-1,an: chamam-se coeficientes.
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Classificação dos polinómios
Quanto aos números de termos, os polinómios classificam-se em: Binómio e trinómio.
- Binómio: São polinómios compostos por dois (2) termos não semelhantes.
Por exemplo:
a) 2x+3y
b) x2+1/2
c) x2-y2
- Trinómio: São polinómios compostos por três (3) termos não semelhantes.
Por exemplo:
a) x+y-z
b) x2-x-1
c) x3+4x2+x
Obs.: Os polinómios com mais de 3 termos não semelhantes simplismente chamam-se polinómios.Pois, não existe um nome específico para polinómios com essas quantidades de termos.
Grau de um polinómio
O grau de um polinómio é grau do monómio mais elevado. Logo, para identificar ou determinar o grau de um polinómio é necessário que o polinómio esteja reduzido. Observe o polinómio reduzido seguinte:
P(x)=x3+4x2+x
Para determinar o grau do polinomio, basta determinar os graus de cada monomio. Sendo assim, temos:
gr(x3)=3
gr(4x2)=2
gr(x)=1
Visto que o grau do polinómio é o grau mais elevado dos monómios. Então, o grau do polinómio é:
gr(x3+4x2+x)=3
Portanto, o grau do polinómio é 3.
Polinómios ordenados
Para ordenar os polinómios, basta organizar de forma crescente ou decrescente segundo as potências de cada monómio que compõem o polinómio. Sendo assim, temos:
Polinómio ordenado de forma decrescente
Observe o seguinte polinómio:
P(x)=5x3+3x4+x5-4+x2-x
Para ordenar o polinómio de forma decrescente, basta organizar o termo que tiver o maior grau ao termo que tiver o menor grau. Sendo assim, temos:
P(x)=x5+3x4+5x3+x2-x-4
Polinómio ordenado de forma crescente
Observe o seguinte polinómio:
P(x)=5x3+3x4+x5-4+x2-x
Para ordenar o polinómio de forma crescente, basta organizar o termo que tiver menor grau ao termo que tiver o maior grau. Sendo assim, temos:
P(x)=-4-x+x2+5x3+3x4+x5
Polinómio completo
Diz-se polinómio completo, quando o polinómio possui os seus graus completos ordenadamente. Por exemplo:
a) A(x)=x3+x2-x+1
b) B(x)=y2+2y-5
- Quanto a aline a)-O polinómio é completo, pois os graus dos monómios aparecem de forma ordenada (3,2,1,0);
- Quanto a aline b)-O polinómio é completo, pois os graus dos monómios aparecem de forma ordenada (2,1,0).
Polinómio incompleto
Denomina-se polinómio incompleto, quando o polinómio não possui os seus graus completos ordenadamente.Por exemplo:
a) A(x)=3x5+2x4-x+3
b) B(x)=y3+2x2-y
- Quanto a aline a)-O polinómio é incompleto, pois os graus dos monómios não aparecem de forma ordenada (5,4,1,0).Sendo assim, faltou os termos de grau 3 e 2;
- Quanto a aline b)-O polinómio é incompleto, pois os graus dos monómios não aparecem de forma ordenada (3,2,1). Sendo assim, faltou termo de grau 0.
Polinómios homogéneos
Um polinómio é homogéneo, quando os graus de cada monómio forem iguais. Por exemplo:
P(x)=6x3y2+4x2y3-yx4
Determinando os graus de cada monómio, temos:
gr(6x3y2)=3+2=5
gr(4x2y3)=2+3=5
gr(-yx4)=1+4=5
Visto que todos os graus dos monómios são iguais. Logo, podemos dizer que o polinómio é homogéneo.
Operações com polinómios
Existem quatro operações fundamentais de polinómios, que são:
- Adição e subtracção de polinómios ;
- Multiplicação e divisão de polinómios ;
Valor numérico de um polinómio
O valor numérico de um polinómio (Px) , determina-se substituindo o valor de x no polinómio dado. Sendo assim, acompanhe o exemplo abaixo:
Determine o valor número do polinómio, sabendo que x= 2:
P(x)=-4-x+x2+5x3+3x4+x5
Primeiramente, substitui-se o valor de x no polinómio dado. Posteriormente, calcula-se as operações. Sendo assim, temos:
P(x)=-4-x+x2+5x3+3x4+x5 =-4-(2)+(2)2+5(2)3+3(2)4+(2)5=>
P(2)=-4-2+4+5.8+16.3+32 =-4-2+4+40+48+32 <=>P(2)=118
Portanto, o valor numérico do polinómio é 118.
Exercícios sobre polinómios
1-Reduza os polinómios seguinte e calcule o seu grau:
a) P(x)=3x6+2x8-4x3+3-2x6+7x8+8x3-1
b) P(x)=5y4x+1/2y2x-yx+7y2x4+4xy
2-Determine o valor número dos polinómios abaixo, sabendo que x= 1:
a) P(x)=2x3+5x2+x+5
b) P(x)=4x5-2x4+x-1
Resolução
1º
a) Para reduzir os polinómios, deve-se agrupar os termos semelhantes. Sendo assim, temos:
P(x)=3x6+2x8-4x3+3-2x6+7x8+8x3-1=2x8+7x8+3x6-2x6-4x3+8x3-1+3=>
P(x)=(2+7)x8+(3-2)x6+(-4+8)x3-1+3 <=> P(x)=9x8+x6+4x3+2
Para determinar o grau do polinómio, basta identetificar o monomio com maior grau.Sendo assim, temos:
gr(P(x))=8
Portanto, o grau do polinómio é 8.
2º
a) Sabendo que x=1. Assim, temos:
P(x)=2x3+5x2+x+5=2.13+5.12+1+5=>
P(1)=2.1+5.1+1+5=2+5+1+5=13
Logo, o valor numérico do polinómio é 13.
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